МБОУ «Ковылкинская средняя общеобразовательная школа №2»
Математика в изобразительном искусстве
Выполнила: Косолапова Ксения Александровна
ученица 8 А класса
Учитель: Кислова Наталья Николаевна
Ковылкино-2013г.
1.Введение
Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности, например, при необходимости изображения трехмерного пространства на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Я расскажу о нескольких значительных фигурах в изобразительном искусстве, которые проложили дорогу новым взглядам искусствоведов.
Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных тем в математическом изобразительном искусстве. Однако, есть несколько тем, которые достаточно часто различают художники. Среди них есть использование многогранников, тесселяций, невозможных фигур, лент Мебиуса, искаженных или необычных систем , а также фракталов.
2. Выдающиеся люди из истории математического изобразительного искусства
Голландский художник Мауриц Корнелис Эшер (1898-1972) в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдохновения для современных авторов.
Леонардо да Винчи (1452-1519) известен своими достижениями в качестве изобретателя и художника. В его записных книгах содержатся первые из известных примеров искусства, использующего искаженные сетки. Его наклонные изображения представляют объекты, которые должны рассматриваться под углом, чтобы они выглядели неискаженными
Иоганн Кеплер (1580-1630) более известен своими работами в астрономии, но также имел большой интерес к геометрическим тесселяциям и многогранникам. В своей книге он опубликовал примеры заполнения плоскости плитками в виде правильных и звездчатых многоугольников в дополнение к многогранникам, о которых было сказано выше. А также его интересовало «Золотое сечение».
Коломан Мозер (1868-1918) - художник-график, преподававший в Вене и работавший в стиле модернизма. Он исполнил пару тесселляций в виде рыб в период 1899-1900 гг., выглядящие вполне в стиле Эшера. Однако, несомненно, Эшер не мог знать о работах Мозера вплоть до 1964 года.
Некоторые известнейшие художники XX века активно использовали математику в искусстве. Пит Мондриан (1872-1944) - голландский художник, известный своими геометрическими абстракциями. Сальвадор Дали (1904-1989) - яркий и парадоксальный испанский художник использовал математические идеи в некоторых своих картинах. На картине "Распятие" (1954) изображен гиперкуб. Макс Биль (1908-1994) - художник-график и скульптор, обучавшийся в Баухаузе , создавал скульптуры, основанные на ленте Мебиуса, многие из которых выставлены в общественных местах.
3. Общие темы в математическом искусстве
Темы наиболее часто использующиеся в математическом изобразительном искусстве включают в себя использование многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов и искаженных перспектив. Отдельные работы часто включают в себя одновременно несколько тем. Каждая из этих тем приведена ниже с описанием и примерами использования.
Тесселляции
Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками, являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Полуправильными тесселляциями называют такие тесселляции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы. Существует всего 8 полуправильных тесселляций. Вместе три правильных тесселляции и восемь полуправильных носят название Архимедовых. Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. В его записных книгах содержатся более 130 вариантов тесселляций. Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых "День и ночь" (1938), серия картин "Предел круга" I-IV, и знаменитые "Метаморфозы" I-III (1937-1968). Примеры ниже - картины современных авторов Холлистера Девида и Роберта Фатауэра (приложение 1 и 2). На картине Холлистера Девида изображены семь птиц, две из которых изображены в негативе на фоне ландшафта города Ахо в Аризоне. Последовательно уменьшающиеся фигуры птиц совмещаются друг с другом в виде фрактальной тесселляции. Хвостовые перья каждой птицы являются разделяют конструкцию напополам, отсекая примерно треть расстояния между кончиками крыльев. Каждая меньшая птица в свою очередь делит свою область аналогичным образом. Если этот процесс продолжать до бесконечности, получится набор точек, известный как множество Кантора или Канторова пыль.
Роберт Фатауэр "Фрактальные рыбы - сгруппированные группы". Это компьютерная работа, распечатанная на фотобумаге. Сквозь иллюминатор видны волны, но при ближайшем рассмотрении видно, что волны являются на самом деле фрактальной тесселляцией, состоящей из рыб.
Невозможные фигуры
Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. М. К. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах "Бельведер" (1958), "Восхождение и спуск"(1960) и "Водопад" (1961) (приложение 3). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса "Перекрестки" (1999) (приложение 4). Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.
Многогранники
Многогранник - это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. М. К. Эшер использовал многогранники во многих своих работах, включая "Рептилии" (1949) (приложение 5). Впервые работа была напечатана в марте 1943 года.
На ней изображен стол, с расположенными на нем предметами и рисунком рептилий собранных в виде мозаики. Рептилии оживают, ползают по кругу по предметам расположенным на столе и в конечном итоге возвращаются обратно в плоский рисунок. На столе расположены обычные предметы — книги (та, по которой ползёт рептилия — учебник по зоологии), посуда, горшок с цветами, среди них выделяется металлический додекаэдр на который рептилии поднимаются. Ящерицы маленького размера, но не кажутся безобидными, имеют настоящие клыки. Одна из рептилий, сидящая на грани додекаэдра, выпускает пар из ноздрей.
Лента Мебиуса
Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один из концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II» показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса. (приложение 6). Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах "Всадники" (1946) и "Узлы" (1965).
Фракталы
Фрактал - это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. К сожалению, фракталы как таковые были недоступны Эшеру, потому что были формализованы и выделены в отдельную область математики лишь после его смерти. Эшер очень интересовался изображением бесконечного в пределах конечной области, в частности бесконечными тесселляциями. Ниже приведены примеры современных художников Кэри Митчелл (приложение 7) и Роберта Фатауэра (приложение 8).
Искаженные и необычные картины
Искаженные картины – это картины, где сцены из жизни изображены на сферах и многогранниках. Примером тому служит картина Дика Термеса «Клетка для человека» (приложение 9). На ней изображена геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.
Некоторые картины настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Если смотреть в такое зеркало, то изображение "формируется снова" в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы такими картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальной при обзоре под углом.
Для просмотра некоторых таких необычных картин были необходимы цилиндрические зеркала, которые были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках.
Примером может служить работа Иштвана Ороса "Колодец" (1998)(приложение 10). Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как о прогулках по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани на побережье Амалфи в Италии. Эшер любил это место и прожил там некоторое время. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии "Метаморфозы". Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера.
Золотое сечение
Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и "Золотым сечением". О теореме Пифагора слышал каждый школьник, а о "Золотом сечении" - далеко не все.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей.
Древнейшим литературным памятником, в котором встречается "Золотое сечение", являются "Начала" Евклида (3 в. до н. э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н. э.). Как следствие многочисленных применений золотого сечения как в геометрии, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга "Божественная пропорция", а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.
Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX века. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”. Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный образец зеркального письма. Портрет Монны Лизы (Джоконды) (приложение 11) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на «золотых треугольниках», являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета.
В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.
Заключение
Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современного искусства и искусства древних времен. Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В своей работе я постаралась это показать и считаю, что моя работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека и отвечает на вопрос: «Зачем изучать математику?» Представленные мною материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.